Note de Charlotte Mason Poetry par Richele Baburina : En 1909, l’encre à peine sèche sur son diplôme de l’Université de Londres, une jeune femme du nom d’Irene Stephens se rendit dans le nord pour rejoindre la Maison d’Education de Charlotte Mason[1]. Son rôle à Ambleside serait double – avec un diplôme en mathématiques et en astronomie, elle serait employée en tant que conférencière en mathématiques et elle serait aussi l’assistante de l’amie proche et secrétaire personnelle de Miss Mason, Elsie Kitching[2].
Bien qu’elle se décrive comme timide et inexpérimentée à ses débuts [3], ses cours de mathématiques, d’astronomie et de physique donnés aux étudiantes de l’école furent rapidement très bien accueillis [4]. En fait, Miss Stephens acquit une connaissance si approfondie de la philosophie de Mason en matière d’éducation qu’en l’espace de deux ans, elle fut chargée de rédiger un article qui fut ensuite inclus dans les Rapports Spéciaux du Conseil de l’Éducation sur les Sujets Éducatifs [5].
Rédigé sous la supervision de Miss Mason [6], L’Enseignement des Mathématiques aux Jeunes Enfants est non seulement publié dans le volume du Conseil de l’Éducation en 1911 et présenté au Congrès International des Mathématiciens l’année suivante [7], mais il est également imprimé sous forme de brochure par la PNEU et constitue la base de l’enseignement des mathématiques à la Parents’ Union School pendant les 18 années suivantes. En 1929, Stephens développa la brochure dans un article en deux parties intitulé « Number: A Figure and a Step Onward » [Nombre : Un chiffre et un pas en avant]. Bien que l’enseignement des mathématiques soit resté incroyablement cohérent, le nouveau document – également imprimé sous forme de brochure et utilisé par la PUS pendant au moins 30 ans [8] – incluait l’enseignement dans une salle de classe plus grande tout en semblant tenir compte de l’enseignement antérieur des mathématiques imposé par la loi anglaise sur l’éducation de 1921 [9].Irene Stephens aurait-elle pu imaginer l’impact qu’aurait son petit article ? Plus de cent ans plus tard, il constitue le cadre de la toute première série de cours d’arithmétique basée uniquement sur les principes appliqués de Mason. « L’enseignement des mathématiques aux jeunes enfants » propose une éducation mathématique simple et sensée en tant qu’atmosphère, discipline et vie. Sans fioritures, les méthodes reposent sur des principes solides plutôt que sur les sables mouvants des dernières recherches.
Par Irene Stephens
The Parents’ Review, Volume 11, n°9, 1900, p. 622- 627
L’idée que la maîtrise des nombres est l’une des bases fondamentales sur lesquelles on peut édifier une structure éducative n’est pas nouvelle. L’arithmétique a toujours fait partie des programmes d’éducation les plus rudimentaires et les plus élémentaires, et nous pouvons donc supposer que sa valeur est incontestée, même par ceux qui ne sont pas en mesure de l’exprimer en termes exacts de formation et de puissance intellectuelles.
Ceux qui, cependant, portent un grand intérêt à l’enseignement de la science des nombres se rendent compte que, même si elle ne sera jamais d’une utilité pratique pour l’élève, une véritable connaissance de ce sujet lui apportera des connaissances importantes qui lui seront utiles dans ses relations futures avec les hommes et les affaires. Il n’est donc pas nécessaire de leur présenter des excuses pour le soin excessif que nous estimons nécessaire d’apporter à l’enseignement des enfants pour qu’ils puissent réellement « penser mathématiquement ».
En prenant comme définition de travail que « l’éducation est une atmosphère, une discipline, une vie », il s’ensuit que l’éducation doit entourer l’enfant et en faire partie dès son enfance. Mais jusqu’à ce qu’il soit prêt pour l’école, à ses six ans révolus, l’éducation doit se faire par les sens, par le jeu libre, et dans un environnement naturel et non préparé artificiellement.
L’enseignement conscient des nombres, comme d’autres lignes de pensée bien définies, doit commencer de façon formelle à six ans et pas avant.
Enseignement formel des mathématiques – Lorsque les enfants commencent leur scolarité normale, les cours durent deux heures, ou deux heures et demie, chaque matin, avec une longue pause ; le calcul fait partie des leçons et prend 20 minutes par jour. On constate généralement que les enfants, lorsqu’ils entrent à l’école, savent compter, mais ignorent tout des propriétés des nombres.
Le chiffre un est abordé lors de la première leçon. Les enfants indiquent à l’enseignant une fenêtre, une cheminée, un piano, en fait, tout ce qui existe en un seul exemplaire dans la pièce. Puis ils apprennent le symbole pour le chiffre un. Chaque fois que nous voyons un trait 1, nous savons qu’il représente un seul exemplaire de quelque chose. Les enfants reconnaissent les 1 dans des groupes de chiffres et, finalement, apprennent à écrire 1, en le faisant aussi droit et parfait que possible.
Les enfants ont chacun un petit tableau noir et une craie, avec laquelle ils écrivent d’abord les nombres. Ensuite, ils ont besoin d’un livre à carreaux de 0.5 cm ou de 1.20 cm et d’un crayon à mine de plomb. Comme l’enfant le sait probablement, après le chiffre 1 vient le chiffre 2. Il apprend alors à écrire 2, d’abord sur son tableau, puis dans son cahier. Il repère le 2 dans un groupe de chiffres et fait de petites additions en utilisant le chiffre 2. Trois est abordé de la même façon, puis quatre, dont l’élève doit se rendre compte qu’il est composé de deux 2, ou de 3 et de 1, par de petits problèmes très simples, tels qu’ils s’offrent facilement à n’importe quel enseignant. Il apprend à compter jusqu’à 4, et à rebours à partir de 4, réalisant ainsi peu à peu l’idée d’une série de symboles désignant une série de quantités dont les grandeurs vont en s’accroissant. C’est peut-être en comptant une série de choses que l’on saisit le plus facilement l’idée d’un ordre des choses, véhiculée par un nombre. Quant à l’idée des grandeurs relatives représentées par les nombres, elle sera appréhendée grâce à de petits calculs d’addition et soustraction.
De cette manière, tous les nombres d’un à neuf sont appris, les exemples devenant plus nombreux au fur et à mesure que les nombres croissent, et impliquant, en plus de la simple soustraction, des facteurs simples tels que deux « trois » font six, et trois « trois » font neuf. Chaque nombre est d’abord abordé à partir d’un ensemble concret d’objets, de perles, etc., et plusieurs problèmes sont posés et résolus à l’aide des perles. Les perles sont ensuite rangées et, pour la leçon suivante, le travail sur le nombre se fait sans l’aide de l’objet concret.
Lorsque plusieurs nombres ont été appris, la signification des signes +, – et = est expliquée à l’enfant. + signifie « s’ajoute à » ou « est mis avec », – signifie « s’enlève de » et = signifie « est la même chose que ». Nous avons maintenant la joie supplémentaire de pouvoir écrire des sommes dans nos cahiers. Ceci est toujours considéré comme un privilège, et n’est permis que les matins où les enfants travaillent bien, et pendant la dernière leçon sur un nombre particulier. L’écriture est toujours un effort laborieux et a tendance à détourner l’attention du sujet le plus important. Les additions sont bien sûr toujours effectuées oralement d’abord, puis écrites. Par exemple, si votre petite sœur a deux ans maintenant, quel âge aura-t-elle dans deux ans ? Lorsque la réponse « 4 » est obtenue, les enfants écrivent dans leur cahier 2 + 2 = 4. Puis ils lisent : « deux ans ajoutés à deux ans font quatre ans ». Écrire les sommes reste cependant rare et tout le travail se fait à l’oral.
A ce stade, nous donnons parfois des exemples avec des nombres purs. Il y a des matins où les petits ont l’esprit vif et enthousiaste, et où ils sont très désireux de faire d’innombrables additions. L’enseignant doit saisir cette occasion. Laissons de côté les boîtes de perles et de pions, laissons même de côté les moutons et les voitures, et n’ayons que des nombres. « Combien reste-t-il si l’on ôte 3 de 5 ? » « Combien faut-il ajouter à 4 pour faire 7 ? » et ainsi de suite, par des questions et réponses rapides, faciles et simples, afin que les enfants se sentent à l’aise avec les nombres et qu’ils aient l’impression de les comprendre vraiment. En effet, bien que la capacité de travailler avec des nombres purs ne soit sans doute un don que pour certains esprits, elle peut, dans une certaine mesure, être cultivée, comme l’oreille musicale, dans une mesure très limitée peut-être, mais cela vaut quand même la peine de s’y efforcer avec nos élèves.
Le nombre dix – Nous apprenons bien sûr ce nombre comme les autres, au moyen d’additions et de soustractions qui montrent comment l’utiliser. Nous apprenons ensuite la signification du mot unité et ici les allumettes semblent être le meilleur moyen de transmettre l’idée que nous voulons faire passer. Lorsque nous avons dix choses, nous les attachons ensemble et nous appelons cela un « paquet de dix ». Faites plusieurs groupes de 10 bâtonnets chacun et attachez-les ensemble. Nous avons maintenant plusieurs « paquets de dix » et chaque bâtonnet d’un paquet est appelé une unité. Comptez maintenant 1 unité, 2 unités, 3 unités, 4 unités … 9 unités, 10 unités, et attachez-les ensemble. Nous procédons ainsi plusieurs fois. Et comme il faut veiller à ne pas confondre dans l’esprit de l’enfant ce qui est général et ce qui est particulier, nous comptons avec des perles, des boutons, des crayons, etc., les perles et les boutons étant enfilés par groupes de 10 et les crayons, etc. attachés ensemble. Le nom de « paquet de dix » est utilisé pour chacun de ces éléments.
Lorsque cette convention est devenue une habitude pour les élèves, il est temps d’écrire le nombre dix. Nous l’écrivons sur le papier quadrillé, une case portant le chiffre 1 pour un paquet de dix, et la case suivante, le chiffre 0 pour « aucune unité ». Nous écrivons alors tous les autres chiffres de 1 à 9 les uns sous les autres, puis 10 de façon que le chiffre 0 vienne sous le chiffre 9, et que le chiffre 1 soit seul (à gauche) dans la case « paquet de dix ».
Une fois la dizaine bien maîtrisée, les nombres de 11 à 20 sont toujours appris très rapidement sous la forme d’1 paquet de dix et d’1 unité, d’1 paquet de dix et de 2 unités, etc. Les enfants s’exercent également à compter, en avant et à rebours, et ils apprennent à écrire les nombres en colonnes afin que l’idée de la valeur des chiffres soit bien ancrée dans leur esprit.
Nous essayons à ce stade, et d’ailleurs à n’importe quelle étape de l’analyse des nombres de 10 à 100, d’obtenir des enfants eux-mêmes la composition de chaque nouveau nombre qui apparaît. Par exemple, nous connaissons tous les nombres de 10 à 13 : nous avons 10 et aucune unité ; 10 et 1 unité, appelé onze ; 10 et 2 unités ; 10 et 3 unités. Alors le nombre suivant devra être 10 et 4 unités, le suivant 10 et 5 unités, et ainsi de suite. Nous constatons que ce type de comptage est nécessaire, car les enfants ont tendance à se faire une idée d’un nombre par lui-même et sont incapables de se rendre compte de sa position par rapport à d’autres nombres.
Après le nombre 12, nous devons nous arrêter un moment, car nous sommes en mesure d’introduire les calculs avec la monnaie. En effet, bien que la monnaie marque une rupture dans la séquence correcte des leçons sur les nombres de 10 à 20, elle constitue un atout pédagogique si précieux pour l’avenir qu’il vaut la peine d’interrompre le train de pensée que nous avons suivi jusqu’à présent.
Nous avons tous des porte-monnaie contenant des shillings, des sixpence et des pennies, et après avoir fait réaliser aux enfants que des tas et des tas de pennies seraient très lourds à transporter et prendraient beaucoup de temps à compter, nous montrons qu’au lieu de six pennies, nous avons une pièce d’argent que nous appelons sixpence. Supposons que nous entrions dans un magasin et que nous achetions six chocolats d’un pence. Au lieu de compter six pennies, nous aurions simplement à donner au commerçant une pièce – l’une de nos sixpence. Si nous achetions 12 chocolats d’un penny, nous pourrions compter 12 pennies (les enfants les comptent), ou bien nous pourrions avoir combien de six-pence ? Chaque groupe de six pennies est remplacé par un sixpence. Nous pourrions avoir deux sixpences, ou une autre pièce que nous appelons un shilling et qui peut être utilisée pour deux sixpences, ou 12 pennies.
Après cette introduction, nous nous entraînons à changer des pennies en shillings et en sixpence, et vice versa, par exemple : « Prenez 18 pennies, nous ne voulons pas en transporter autant, alors nous en changeons 12 en shillings – comptez combien il en reste. » « Six. » « Oui, comme ça nous avons un sixpence à la place de ces pennies et nous n’emporterons que deux petites pièces au lieu de 18 grandes ». Ou encore : « Comptez 13 pennies, remplacez 12 par un shilling, nous avons un penny en plus, de sorte que nous avons deux pièces au lieu de 13 » Ou encore : « comptez huit pennies, un sixpence et deux pennies », et ainsi de suite. Lorsque les enfants ont affaire à des nombres supérieurs à 12, le travail doit être purement expérimental.
Un grand nombre de calculs simples avec la monnaie peuvent se faire de façon concrète, les nombres impliqués ne dépassant jamais 12. Par exemple : « j’ai acheté trois balles à un penny chaque, ainsi que pour deux pennies de caramel, et deux bobines de ficelle à deux pennies chaque. Combien le commerçant m’a-t-il rendu sur un shilling ? » Ou encore : « j’ai gagné un prix de 5 shillings et j’ai donné 2 pennies de chaque shilling à mon frère. Combien lui ai-je donné ? »
Nous sommes maintenant en mesure d’utiliser la monnaie pour créer des exercices de calcul avec tous les autres nombres. Les calculs d’argent plaisent aux enfants et, au début, ainsi qu’un peu plus tard, les questions impliquant de l’argent semblent pouvoir être résolues très facilement.
Le nombre 20 s’explique facilement par 2 paquets de dix, et l’on constate que la progression de 20 à 100 est facile à comprendre pour un enfant d’intelligence ordinaire. A partir de 30, les nombres sont pris par séries de dix, et l’on s’exerce fréquemment à compter et à écrire les chiffres. Avec le nombre 20, les enfants découvrent le souverain*, avec 24, la pièce de deux shillings et avec 30, la demi-couronne*.
Des exemples en nombres purs sont également donnés, comme ajouter 25 et 41 – nous ajoutons d’abord les paquets de dix :
2 paquets de 10 + 4 paquets de 10 = 6 paquets de 10, et
5 unités + 1 unité = 6 unités,
Réponse = 66.
Dans le cahier de l’élève, la somme s’écrit 41 + 25 = 66.
L’analyse des nombres de 1 à 100 occupe la première année. La deuxième année est consacrée aux quatre opérations et aux tables de multiplication. Le travail effectué ne prétend pas être original, il s’agit simplement d’une modification des méthodes d’enseignement existantes, tirées de manuels bien connus. Je voudrais, si vous me le permettez, mentionner ce qui nous semble être quelques-unes des principales caractéristiques de l’enseignement dispensé dans ces livres, à l’intention de ceux qui ne les connaissent peut-être pas.
Ces caractéristiques sont les suivantes :
(1) La manière très approfondie dont le travail est effectué. La quasi-totalité du travail de la première année consiste en l’analyse des nombres d’un à mille, chacun d’entre eux étant abordé dans toutes les directions et l’élève et le professeur en épuisant toutes les possibilités. La compréhension à partir de paires de petits nombres, de facteurs, de parties fractionnaires, l’application aux sommes d’argent, aux poids et mesures (avec le nombre 60, l’élève commence à travailler avec les heures et les minutes, avec le nombre 36, il calcule avec les pouces* et les yards*), tout est expliqué avec chacun des nombres auxquels ils s’appliquent, et des termes particuliers, tels que douzaine et score*, sont introduits. Par exemple, le nombre quarante est traité de la manière suivante :
40 = 39 + 1
= 38 + 2
= 37 + 3
= 36 + 4
= 35 + 5
= 34 + 6
= 33 + 7
= 32 + 8
= 31 + 9
= 30 + 10 = 10 + 10 + 10 + 10 = 4 x 10
40 = 4 x 10 = 10 x 4
= 5 x 8 = 8 x 5
= 20 x 2 = 2 x 20 = deux score
10 ≠ 40 4 fois
4 ≠ 40 10 fois
5 ≠ 40 8 fois
8 ≠ 40 5 fois
20 ≠ 40 2 fois
2 ≠ 40 20 fois
[≠ signifie “est contenu dans”. Ce symbole fut proposé par Mrs Sonnenschein et Nesbit. Il n’a pas été accepté par tous et est malheureusement similaire au signe qui est employé universellement pour signifier “n’est pas égal à”.]
La moitié de 40 est 20. Le cinquième de 40 est 8.
Le quart de 40 est 10. Le huitième de 40 est 5.
Le dixième de 40 est 4. Le vingtième de 40 est 2.
Puis des exemples tels que :
(a) Combien de shillings dans 2 £ ? Combien de quintaux dans 2 tonnes ?
(b) Combien de chevaux ont 40 pattes au total ?
(c) Si un livre coûte 8 shillings, combien puis-je en acheter pour 2 £, etc.
(2) Les quatre opérations sont introduites ensemble dès le début par le biais de petits problèmes, par exemple : « Sur un trajet de dix miles, j’en ai parcouru sept. Combien me reste-t-il à parcourir ? » ou « Combien de balles à deux pennies puis-je acheter avec un shilling ? » ou « Combien de pattes ont quatre moineaux ? » Les quatre signes +, -, x, ÷, sont donnés aux enfants pratiquement au début. On leur explique la signification de ces signes et on leur fait faire des exercices. Les termes spécifiques à chaque opération tels que terme de la différence, facteur, etc. sont expliqués lorsque les enfants abordent les sections consacrées à la soustraction, à la multiplication, etc.
(3) Du matériel spécialement conçu est largement utilisé tout au long du programme.
Ces indications très succinctes suffiront, je l’espère, à montrer combien une telle méthode est tentante pour qui enseigne à de jeunes enfants. Le sujet est abordé d’une manière fascinante et exhaustive et semble, de premier abord, suivre la progression idéale pour le débutant. Mais l’expérience a montré que cette méthode présente certains inconvénients, raison pour laquelle elle est utilisée avec les modifications suivantes :
(1) Le matériel spécial est entièrement supprimé. L’emploi d’outils compliqués, spécialement conçus pour enseigner à l’enfant certains faits relatifs aux nombres, tend à former dans son esprit un lien inaltérable entre les faits et le matériel. Il est incapable de les séparer ou de se rendre compte qu’il s’agit de faits généraux. Nous pensons donc qu’il est souhaitable, lorsque l’utilisation d’outils pour manipuler est nécessaire, d’utiliser des allumettes, des boutons, des crayons, des objets usuels, et en nombre suffisant.
(2) Les exemples donnés, bien que de nature intéressante, sont souvent beaucoup trop difficiles pour les enfants. Leur connaissance de la science des nombres n’en est encore qu’à ses débuts. Leur travail se faisant en grande partie à l’oral, les exemples que nous leur donnons doivent donc se limiter à une opération effectuée en une seule fois : addition, soustraction, ou autre. Par exemple : « Jean a 1 shilling de plus que Marie. Il lui donne 1 pence. Combien a-t-il maintenant de plus que Marie ? » est une question trop difficile pour un élève qui vient de percer les mystères du nombre 12.
(3) Il semble préférable de garder les mesures de poids, de temps et de longueur pour plus tard. Dire qu’il y a 20 quintaux dans une tonne ne peut pas apporter grand-chose à un enfant de six ans. Les divisions de temps sont une abstraction qui ne feront qu’ajouter à son incompréhension. Nous nous en tenons donc simplement aux sommes d’argent et aux objets familiers de la vie quotidienne.
(4) Les signes × et ≠ ne sont donnés que lorsque l’élève commence à étudier les tables de multiplication, et les termes tels que terme de la différence, addenda, sont omis.
(5) Les nombres plus grands ne sont pas traités de manière aussi exhaustive. Une semaine environ (ou 10 jours au maximum) est consacrée à l’apprentissage des nombres 40-49 par exemple. Les enfants n’ont aucun devoir à faire à la maison et leur calcul est donc très largement à l’oral.
Nous avons constaté que les enfants, lorsqu’ils suivent entièrement ce système, deviennent très compétents dans l’analyse des nombres, mais qu’ils se sont, pour ainsi dire, spécialisés dans cette branche de la science et sont incapables de travailler d’une autre manière. Les problèmes, s’ils sont présentés comme l’analyse d’un nombre donné, sont facilement résolus, mais pas lorsqu’ils sont présentés d’une autre manière. Les livres qui proposent de telles méthodes de travail constituent cependant un guide et une aide très précieuse dans notre travail.
Addition et soustraction – Les premières sommes sont faites avec de l’argent. Les additions de pence, comme par exemple 7p. + 4p. puis 7p. + 6p. + 2p. sont suivies par des additions de shillings et de pence, par exemple 4s. 3p. + 2s. 6p. puis 4s. 9p. + 17s. 4p., puis l’on additionne des livres, des shillings et des pence, les nombres des £ restant petits:
£ s. p.
9 10 5
3 17 8
13 8 1
8 pennies et 4 pennies font 1 shilling, et il reste 1 penny. 1 shilling et 17 shillings font 18 shillings, ce qui, avec 2 shillings, font 1£., et il reste 8 shillings. £1 + £3 + £9 = £13. Notre réponse est donc £13 8s. 1p.
Finalement, nous introduisons les farthings [1 farthing = 0.25 pence].
Une fois que les enfants ont travaillé quelque temps sur des sommes d’argent, nous pouvons leur donner des sommes avec des nombres purs. Par exemple : 674 + 215. Nous l’écrivons de cette nouvelle façon :
674
215
Les centaines, dizaines et unités à leur place. 4 unités + 5 unités = 9 unités, à écrire à la place des unités. 1 dizaine + 7 dizaines = 8 dizaines, à écrire à la place des dizaines. 2 centaines + 6 centaines = 8 centaines, à écrire à la place des centaines.
Le résultat est donc :
674
215
889
L’étape suivante est une addition comme celle-ci :
519
392
Dans un cas comme celui-ci, les enfants apprennent à additionner par groupe de dix, par exemple 2 unités + 8 unités = 10 unités et 1 unité = 11 unités c’est-à-dire 1 unité à la place des unités et une dizaine qui doit être ajoutée aux autres. 1 dizaine + 9 dizaines = 10 dizaines, ou une centaine, et il reste une dizaine. Nous avons donc une centaine et une dizaine. Et 1 centaine + 3 centaines + 5 centaines nous donne 9 centaines :
519
392
911
Ensuite, des sommes plus longues peuvent être données, avec trois, quatre, ou plus de séries de chiffres, les enfants ajoutant toujours par groupes de dix et atteignant ainsi une précision mécanique. Les enfants sont toujours capables, après quelques questions judicieuses de notre part, de nous dire ce qu’il faut faire avec les 11 unités et les 11 dizaines dans la somme donnée ci-dessus, c’est-à-dire d’écrire les 11 unités comme une seule à la place des unités et de mettre la dizaine avec les autres dizaines. Idem avec des montants comme 13 pennies, qui sont un shilling et un penny ; ou 27 shillings, qui sont une livre et sept shillings, s’il s’agissait d’une addition avec de l’argent. L’analogie entre le changement des pennies en shillings, des shillings en livres, et le changement des unités en dizaines, et des dizaines en centaines, fait que ce dernier semble tout à fait facile et naturel pour les enfants. Viennent ensuite des problèmes intéressants à résoudre par l’addition d’argent ou de nombres purs, par exemple, si une bicyclette coûte £5 0s. 0p., une boîte à outils 2s. 6p., une cloche 1s. 9p. et une lampe 5s. 6p., quel est le coût total ?
La soustraction est introduite comme l’addition, par de petites sommes d’argent présentées de façon concrète au début. Par exemple, (a) si j’ai 6p. dans ma bourse et que je donne 2p. à un porteur pour transporter un paquet, combien me reste-t-il ; ou (b) si j’ai six noix et que j’en veux 9, combien dois-je en obtenir de plus ? Des exemples du type (b) sont recommandés et devraient être d’autant plus nombreux que les enfants peuvent additionner plus facilement qu’ils ne peuvent soustraire. De plus, de tels exemples leur donnent l’idée que la soustraction est le complément de l’addition. Cette vision de la soustraction est maintenant généralement acceptée comme celle qu’il faut donner aux débutants et est utilisée dans les leçons ultérieures sur cette partie du programme. Après un ou deux exemples de ce type, nous commençons à calculer des sommes impliquant des shillings et à utiliser le terme « enlever ». Enlevons 1s. 2p. à 5s. 8p., que reste-t-il ?
s. p.
5 8
1 2
4 6 Deux pennies et 6 pennies font 8 pennies, et 1 shilling + 4 shillings = 5 shillings.
Viennent ensuite des calculs comme celui-ci : j’avais 10 shillings et j’ai payé quelqu’un 3s. 9p., que me reste-t-il ? Au début, il faut procéder de manière expérimentale. L’enfant essaie de payer 3s. 9p. d’une bourse contenant 10 shillings et il bute sur les 9p. pendant un certain temps, mais il lui vient bientôt à l’esprit de changer les shillings en pennies. Il fait alors plusieurs additions dans son cahier, changeant mentalement un shilling en pennies, et des livres sterling en shillings. Même un enfant qui éprouve des difficultés en mathématiques semble comprendre facilement la soustraction lorsqu’elle lui est présentée de cette manière.
Lorsque nous arrivons à des calculs de soustraction impliquant des nombres purs, il est relativement simple de changer les dizaines en unités après s’être déjà familiarisé avec le changement des livres en shillings et des shillings en pennies. Par exemple, soustraire (nous avons maintenant appris que c’est la même chose que « enlever ») 27 de 41 :
41
27
Nous ne pouvons pas ôter 7 unités à une unité – que devons-nous faire ? Quelqu’un dans la classe suggérera probablement de « transformer une dizaine en unités ». Nous avons maintenant 11 unités, or 7 + 4 unités = 11 unités. Ensuite, nous prenons 2 dizaines aux 3 dizaines puisqu’une dizaine a déjà été transformée en unités. Le résultat est donc :
41
27
14
Si ceci n’est pas clair, nous reprenons le calcul avec le paquet d’allumettes que nous décomposons en ses unités. Bien qu’il soit généralement conseillé de ne donner à une classe qu’une seule méthode de soustraction et que la méthode de « décomposition » mentionnée ci-dessus soit la plus facile à expliquer, nous pouvons tout de même jeter un œil à la méthode par compensation que certains enseignants préfèrent.
Prenons notre paquet de bâtons d’allumettes. Pour enlever 28 à 47, nous avons devant nous 4 paquets de 10 et 7 unités – nous ne pouvons pas enlever 8 à 7, donc, au lieu de défaire un des paquets de 10, nous prenons un nouveau paquet et nous le détachons. Nous avons maintenant 4 dizaines et 17 unités et en enlevant 8 unités, il nous en reste 9. Nous devons maintenant ôter 2 dizaines et ne pas oublier d’enlever le paquet de dix que nous avons ajouté, c’est-à-dire retirer 3 paquets de dix. Cette autre méthode sera comprise par l’élève après avoir travaillé sur plusieurs exemples. La méthode par compensation est finalement une façon plus rapide de travailler la soustraction et mérite donc qu’on s’y attarde. Suivent des problèmes de soustraction avec de l’argent et des nombres purs qui reprennent tout ce qui a été appris jusqu’à présent.
Multiplication et division – La multiplication est d’abord présentée comme une extension de l’addition, par exemple, « Si 4 enfants ont reçu 6p. chacun, combien ont-ils reçu en tout ? » sera calculé 6p. + 6p. + 6p. + 6p. = 24p. = 2s. Nous donnons plusieurs exemples de ce genre avant de suggérer d’écrire plus brièvement : 6p. x 4, où « x 4 » signifie multiplié par 4, c’est-à-dire que chacune des quantités mentionnées doit être prise 4 fois, de sorte que 6p. x 4 signifie 4 pièces de six pence, 2s. x 10 signifierait 10 pièces de 2s, et ainsi de suite. Nous travaillons quelques problèmes simples, en demandant aux enfants de les écrire au tableau avec le signe de multiplication et en utilisant des nombres faciles pour lesquels la connaissance de la table de multiplication n’est pas nécessaire. Ces exemples élémentaires donnent aux enfants une idée de ce qu’indique le mot « fois » et nous pouvons alors commencer à voir les tables de multiplication.
Pour aider les enfants à comprendre la logique de la table de multiplication, ils construisent d’abord chaque table eux-mêmes avec l’aide de l’enseignant. Par exemple, s’il s’agit de la table de 4, l’enseignant commence par « J’écris un 4 au tableau avec un petit 1 au-dessus, pour montrer combien j’ai de 4. Puis j’écris un autre 4, combien en ai-je ? ». « Deux. « Combien ai-je maintenant, deux 4 font ? » Huit. Inscrivez huit sous le deuxième 4. Maintenant, écrivez un autre quatre, nous avons trois 4 soit 12, de même quatre 4 soit 16, cinq 4 soit 20, et ainsi de suite jusqu’à la fin, 12 4 ou 48, jusqu’à ce que nous ayons la table complète :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
Les enfants observent ce tableau un certain temps, le visualisent pour mieux le mémoriser, puis le répètent plusieurs fois. L’enseignant gomme ensuite quelques chiffres ici et là dans le tableau et laisse les enfants remplir les blancs. Le tableau est ensuite réécrit dans son intégralité, avec plusieurs blancs à combler par les élèves. Le tableau est ensuite répété par chacun des enfants.
Il n’y a pas de voie royale pour les tables de multiplication, elles doivent être apprises par cœur. C’est un fait auquel est confronté tout enseignant d’arithmétique élémentaire, et auquel chacun doit se préparer de la meilleure façon possible. Les tables de multiplication doivent être apprises par chaque enfant individuellement et non en chœur. Les tables s’apprennent à l’endroit et à l’envers, c’est-à-dire :
6 fois 1 = 6.
6 fois 2 = 12, etc., et aussi
Un 6 fait 6.
Deux 6 font 12.
Trois 6 font 18, etc.
Ainsi que dans le désordre :
Quatre 6 font 24.
Trois 6 font 18.
Six 6 font 36.
Sept 6 font 42.
Dix 6 font 60, etc.,
Et ainsi dans des ordres différents.
Au fur et à mesure que chaque table est maîtrisée, nous donnons des exemples montrant son utilisation et celle des tables précédentes, toujours sous forme de problèmes commençant par des questions d’argent comme pour l’addition et la soustraction, et allant jusqu’à la manipulation de nombres purs.
Par exemple : un garçon a ramassé des coquillages, 23 chaque jour pendant 72 jours. Combien en avait-il alors ? Le calcul s’écrit :
72 23
23
On multiplie d’abord par 20 puis par 3. L’enfant est capable de vous dire que vous pouvez le faire en multipliant par 20 et par 3 et en ajoutant les produits, et que la multiplication par 20 est facile parce qu’il s’agit simplement de multiplier par 2 et d’ajouter un chiffre. Le résultat est :
72 x 23
23
1,440
216
1,656
Il faut veiller à ce que les unités, les dizaines et les centaines soient conservées dans leurs colonnes respectives.
La multiplication par cent et mille est également très simple lorsqu’elle est effectuée de cette manière.
Division – Nous avons maintenant deux significations différentes à transmettre : l’une est une idée de soustraction continue, l’autre une idée de parties fractionnées. La première notion peut être expliquée par des exercices de « partage » effectués , au début, avec des noix ou des pennies. Partagez 12 noix en tas de trois, combien doit-il y avoir de garçons pour que chacun ait trois noix, combien pour que chacun en ait deux ? Combien de barres de chocolat pourriez-vous acheter si chacune coûtait 2p. et si vous aviez 6p. à dépenser ? Ce partage en tas de 2 ou 3, etc., est appelé division par 2 ou 3, etc. Supposons que je vous demande de diviser 15 en trois, comment feriez-vous ? Nous diviserions en tas de 3 et nous aurions 5 tas parce qu’il y a 5 fois trois unités dans 15. Si je divise 8 par 2, combien de tas ai-je ? Combien y en a-t-il si je divise 10 par 5 ? 18 par 6 ? etc. Le signe ÷ pour la division est expliqué et quelques sommes d’argent simples sont ensuite calculées, par exemple, £6 12s. 4p. ÷ 2 = £3 6s. 2p. Les enfants apprennent ensuite à diviser lorsque les nombres comportent des dizaines, et à écrire la division comme une division courte, par ex.:
2)48 / 24, c’est-à-dire deux dizaines et quatre unités.
Ceci est démontré avec des « paquets de dix » si nécessaire. Nous avons maintenant abandonné notre idée de « tas » de 2, et nous réalisons que 48 ÷ 2 signifie le nombre de deux unités qu’il y a dans 48. 4 dizaines ÷ 2 = 2 dizaines, et 8 ÷ 2 = 4 unités ; la réponse à 48 ÷ 2 est donc 24.
Division longue – Certains enfants n’en seront peut-être pas capables mais cela vaut la peine d’essayer. Nous commençons par des sommes d’argent, avec un petit nombre comme diviseur, et nous expliquons qu’il s’agit d’une nouvelle façon d’écrire les sommes de la division, afin de voir le reste après avoir divisé en livres, shillings et pence ; ou en centaines, dizaines et unités, par exemple,
4)924(2
8 / 1
9 centaines divisées par 4 donnent 2 centaines et il nous reste 100, c’est-à-dire que nous aurons deux centaines dans notre réponse. Que faire de ces 100 ? L’analogie avec la soustraction amènera peut-être les enfants à suggérer qu’il faut les transformer en dizaines, bien que nous soyons presque certains d’entendre la question suivante : « Pourquoi ne pouvez-vous pas diviser 100 par 4 ? » Cela reviendrait à diviser 100 unités, et nous devons d’abord trouver combien de dizaines comporte le résultat avant de passer aux unités. Nous avons alors dix dizaines et deux autres à ajouter, c’est-à-dire 12 dizaines qui, divisées par 4, donneront 3 dizaines, et les 4 unités restantes divisées par 4 donneront une unité, de sorte que le résultat est :
4)924(231 Réponse
8 / 1 centaine
10
10 dizaines
+ 2
12 dizaines
12
4 unités
4
Prenons maintenant l’autre aspect de la division, celui qui suggère les fractions. Si j’avais 8 oranges et que j’en donnais la moitié, combien cela ferait-il ? Combien si j’en donne un quart ? Si j’avais 9 oranges et que j’en donnais un tiers ? Cette dernière question ne reçoit probablement pas de réponse dans un premier temps. Que signifie « donner la moitié » ? Diviser en 2 parts et en donner 1. Que signifie alors, selon vous, donner un tiers ? Diviser en 3 parts égales et en donner une ? Oui, nous divisons 9 en 3 parts égales et nous en donnons une. Le tiers, la moitié et le quart s’écrivent 1⁄3, 1⁄2, 1⁄4 et signifient une de 3 parts, une de 2 parts, une de 4 parts, 1⁄5 signifiant une de 5 parts. Ensuite nous donnons de nombreux problèmes, tous impliquant l’utilisation d’outils simples comme des pennies, des crayons, des noix. Nous demandons aux enfants de calculer des fractions simples de nombres, 1⁄5, 1⁄3, 1⁄4 et les laissons obtenir la réponse en partageant en tas. On leur apprend ensuite que 1⁄5 de 20 est égal à 4 et que 20 ÷ 5 = 4, de sorte que 1⁄4 de 20 signifie 20 ÷ 4. On leur donne un certain nombre de calculs simples à effectuer oralement et on les initie à la notation des farthings [1/4 pence] dans la monnaie anglaise. Nous ne progressons pas plus sur le sujet des fractions. Nous nous contentons de l’effleurer pour donner aux enfants une notion complète de la division. Le sujet n’est à nouveau abordé que lorsque les enfants ont maîtrisé les décimales.
Poids et mesures – Ce sujet est abordé au début de la neuvième année de l’enfant et constitue la dernière partie du cours d’arithmétique élémentaire. L’enfant pèse et mesure lui-même et établit ses propres tableaux. Nous le laissons, vêtu d’un tablier, mesurer des pintes et des quarts [1.14 L] d’eau, attentif à ne rien renverser, et peser des livres et des onces de sable ou d’autres choses propres et faciles à manipuler. Nous utilisons d’abord nos propres poids et mesures, dont ils ont probablement entendu parler. Il y a, bien sûr, des limites à la pesée et à la mesure à l’école : les tonnes et les quintaux, leur dit-on, sont les gros poids utilisés lorsque les hommes veulent peser des choses très lourdes comme des poutres de fer ; et ces poids sont ajoutés au tableau déjà établi pour passer des drams [1/16 d’une once] aux livres.
Une fois les tableaux établis, les enfants les lisent une ou deux fois et répondent ensuite à un certain nombre de questions orales rapides. Combien d’onces dans deux livres ? Dans 1 livre et 10 onces ? Combien de quintaux dans 1 tonne et 6 quintaux ? etc., et nous leur donnons ensuite un grand nombre de problèmes à résoudre dans leurs cahiers. Les tables métriques sont données, nous expliquons qu’elles sont utilisées dans d’autres pays, et les enfants s’y habituent ; tout professeur d’arithmétique britannique doit déplorer le système de mesure britannique. Avec notre adoption d’un système décimal de monnaie et de mesure, une grande partie de ce qui semble être un travail inutile lui sera épargné. L’aspect rationnel et logique de ce travail par dizaines semble plaire aux enfants aussi bien qu’à l’enseignant, et ils sont toujours ravis lorsque des mesures métriques interviennent dans leurs calculs.
A ce stade, les enfants travaillent le plus possible sur des problèmes pratiques, mesurent la circonférence des arbres, le mobilier de la salle de classe, etc., et établissent ainsi un tableau comparatif des poids et mesures, les unités métriques étant exprimées en unités britanniques et vice-versa.
Mesures d’aires – Comment pourrions-nous dire quelle est la taille d’un mur ou d’un plancher ? Nous pouvons dire quelle est la longueur de la cimaise, quelle est la longueur et la largeur de la porte, mais nous devons trouver une nouvelle façon de dire quelle est la taille de l’ensemble. Regardez une page de votre livre d’arithmétique : elle est divisée en carrés et vous pouvez dire quelle est sa taille en comptant les carrés. Dessinez un livre de 6 cases de long et 5 cases de large. Quelle est sa taille ? 30 carrés, car il y a 5 rangées contenant chacune 6 carrés. Dessinez le dessus d’un plumier de 2 carrés de large et 10 carrés de long, il y a 2 rangées de 10 carrés chacune, il fait 20 carrés. Supposons maintenant que chaque carré ait 1 pouce de long et 1 pouce de large, on l’appelle alors un pouce carré. S’il avait 1 pied de long et 1 pied de large, on l’appellerait un pied carré. Nous mesurons les murs et les portes en les divisant en pieds carrés ou en pouces carrés. Ce type de grandeur est appelé aire. Nous dessinons de nombreuses figures rectangulaires sur du papier divisé en pouces carrés, et nous trouvons la surface de chacune d’elles en comptant le nombre de lignes et le nombre de carrés qu’elles contiennent, par exemple un rectangle de 5 pouces de long et de 2 pouces de large.
aire = 5 rangées de 2 carrés chacune
= 5 x 2 carrés
= 10 carrés ou 10 pouces carrés.
C’est ainsi que les enfants parviennent enfin à la règle de calcul des surfaces, puis se font un tableau des mètres carrés, des pieds et des pouces. Ils mesurent et trouvent maintenant la surface de l’âtre, des fenêtres, des marches, du tableau noir, etc. et travaillent sur de nombreux problèmes dans leurs cahiers. La mesure des mètres carrés se fait de la même manière, c’est-à-dire en mesurant des rectangles divisés en centimètres carrés, et en mesurant les meubles de leur salle de classe en mètres et en centimètres.
Le calcul des volumes s’aborde de la même manière que la mesure des surfaces, les dés ou les cubes servant à l’étape préliminaire, qui est plus rapide que pour les surfaces.
Ceci conclut la quatrième année scolaire de l’enfant, et bien qu’il n’ait peut-être pas progressé très rapidement ou qu’il n’ait pas « fait » beaucoup de règles ou des calculs très variés, il a travaillé de manière approfondie et a découvert beaucoup de choses par lui-même.
Au cours de la dernière année, il a commencé à étudier la Géométrie, de manière expérimentale et pratique, en apprenant à manipuler les instruments, à juger à vue d’œil des longueurs et des surfaces, à connaître les noms et certaines propriétés de certaines formes géométriques. Ainsi, il découvre en dessinant et en mesurant des faits concernant l’intersection des diagonales d’un carré et d’un rectangle, et des parallélogrammes en général, ainsi que la signification de certains termes géométriques, par exemple bissectrice, perpendiculaire, etc., de sorte que lorsque l’étude du sujet est entamée de façon formelle, il est déjà équipé, les idées fondamentales sont maîtrisées dans une certaine mesure, et il est capable de concentrer son attention sur les raisonnements.
Au cours de ses sixième et septième années passées en Form I, il a appris à travailler le carton, à modeler des cubes, des chaises et bien d’autres choses encore, chaque modèle impliquant le tracé de lignes droites de longueurs données, la réalisation d’angles droits et un découpage très net et précis. Tout cela lui est maintenant bien utile, ses doigts peuvent tenir une règle bien droite et stable, il trace des lignes nettes et précises.
Pour reprendre les mots de Ruskin, à propos de la géométrie : « Vous avez maintenant appris, jeunes gens et jeunes filles, à lire, à parler, à penser, à chanter et à voir. … Voici votre équerre de charpentier, et vous pouvez contempler sagement et en toute sécurité le sol, ainsi que les mesures et les lois qui s’y rapportent, puisque vous devez vous y tenir : et regardez bien les étoiles mais pas avant, car si vous aviez étudié le sol d’abord, vous n’auriez peut-être jamais levé la tête. La géométrie est ici considérée comme l’arbitre de toutes les lois du travail pratique, qui aboutissent à la beauté ». [John Ruskin. Mornings in Florence, being simple studies of Christian Art for English Travellers, p. 134.(London: George Allen, 1894.)]
Les leçons de géométrie commencent par les points, puis les lignes, droites et courbes, en prenant si possible les définitions des enfants. Nous leur posons des problèmes pour obtenir certaines informations sur les lignes, par exemple : « tracez autant de lignes droites que vous pouvez à travers un certain point » ou « prenez 3 points et joignez-les les uns aux autres, combien de lignes avez-vous ? ». Nous nous entraînons également beaucoup à évaluer la longueur des lignes en centimètres et en pouces, trouvant toujours la mesure de l’erreur. Tout cela se fait bien sûr par un travail concret, la salle de classe et les choses à l’extérieur fournissant une réserve inépuisable de lignes droites. Nous apprenons la signification de « bisection » et « trisection », et nous essayons d’effectuer ces opérations sans mesurer. L’étape suivante consiste à dessiner des plans à l’échelle. Je veux dessiner la fenêtre sur une feuille qui n’est pas assez grande. Comment dois-je m’y prendre ? En la dessinant plus petite, bien sûr. Combien plus petit ? Cette question suscite des suggestions parmi lesquelles il convient de choisir la meilleure. Huit fois plus petit ? Très bien, mais comment puis-je être sûr que c’est huit fois plus petit ? Mesurez-le. Comment ? En mesurant chaque côté et en faisant en sorte que chacun soit huit fois plus petit. Cela fait, la fenêtre est dessinée et divisée en ses différents carreaux, l’échelle étant bien sûr soigneusement appliquée. Ensuite, les portes, les livres, etc. sont dessinés à l’échelle, et un plan de la salle de classe est réalisé avec les fenêtres, les portes et la cheminée. Ensuite, nous sortons nos atlas et nous constatons que toutes les cartes sont en réalité des plans dessinés à l’échelle, et nous pouvons découvrir en mesurant et en utilisant l’échelle la distance qui sépare les lieux les uns des autres, bien qu’il faille être prudent, car l’échelle donnée sur une carte n’est pas du tout exacte. L’échelle de toutes les cartes diffère nécessairement suivant les directions, et les résultats obtenus ne peuvent donc être qu’approximatifs, mais ils sont suffisants pour être utiles et intéressants pour les enfants. Après s’être exercés à mesurer sur une carte, nous avons quelques problèmes, tels que : « Si je regarde à l’ouest de ma maison, je vois un phare à 4 miles, si je regarde à l’ouest, je vois une flèche d’église à 3 miles. Dessinez un plan (à l’échelle de 1 mile pour 1 pouce) et trouvez à quelle distance se trouve le phare par rapport à la tour ».
Le cercle vient ensuite, les enfants s’exercent à le dessiner et apprennent les définitions : rayon, centre, circonférence, arc, corde, diamètre. Ils dessinent ensuite des cercles, concentriques, se croisant, etc., et travaillent sur des problèmes pour relier les cercles à leur travail précédent, par exemple, un phare dont la lumière a un rayon de 4 1⁄2 miles, est à 32 miles d’une autre lumière, avec un rayon de 3 miles. Dessinez un plan pour déterminer l’espace d’obscurité qu’un navire devrait traverser pour aller de l’un à l’autre.
Nous travaillons ensuite sur les angles que les enfants appellent généralement des « coins ». Ils voient les deux façons dont un « coin » peut être formé : par deux lignes qui se rencontrent ou par une ligne qui tourne autour d’une autre. Ils apprennent les notions d’angles obtus et aigus, et ce qu’est un angle droit. Ils découvrent également comment la grandeur d’un angle peut être mesurée et qu’elle n’est pas affectée par la longueur de ses cotes car deux angles égaux peuvent être formés par l’ouverture d’un grand et d’un petit compas, par exemple. L’utilisation du rapporteur vient ensuite, et lorsque les enfants le maîtrisent, ils peuvent découvrir les propriétés des angles verticalement opposés, des angles dans un cercle, etc., en dessinant et en mesurant eux-mêmes. Le cadran de l’horloge permet de s’entraîner à calculer la grandeur des angles et à tracer des cercles. Des plans sont donnés pour mesurer des angles et des distances. Les questions doivent toutes avoir un but. Une question comme « Dessinez XY de 4 pouces de long, en X tracez une ligne faisant un angle de 58° avec XY, et en Y une ligne faisant un angle de 48° avec XY » laisse une idée inachevée dans l’esprit de l’enfant et fait de sa leçon de géométrie un jeu de lignes et d’angles sans but ; ou rend son travail machinal ; il s’arrête mécaniquement après avoir dessiné cette troisième ligne et il est prêt à exécuter mécaniquement la prochaine demande tout aussi inutile.
Après les angles, on peut prendre les 16 points cardinaux, avec de nombreux exercices à partir de cartes ou de plans que les enfants ont dessinés. Le travail sur les parallèles en découle très facilement ; les lignes parallèles étant simplement celles qui sont dans la même direction, par exemple les lignes de chemin de fer, ou les rues dans le quartier. On peut démontrer visuellement que deux personnes marchant toujours dans la même direction et avec un certain écart ne se rapprochent jamais l’une de l’autre. Nous expliquons les angles « alternés », « extérieurs » et « intérieurs ». Ceci sera une aide lorsque nous aborderons les lignes parallèles plus formellement. Nous constatons que la proposition impliquant les propriétés de ces angles présente invariablement des difficultés si les élèves ne connaissent pas les noms des angles formés par une paire de droites parallèles coupée par une transversale. Les enfants sont ensuite initiés aux équerres et à leur utilisation, et apprennent à tracer des lignes parallèles de cette manière. Tout au long de cette première partie du travail, nous essayons d’éviter autant que possible toute approche d’une proposition dans le style d’Euclide. Tout ce travail est une préparation aux futures démonstrations logiques de propositions, et toute approche maintenant est susceptible d’aboutir à un travail de perroquet qui a tant affecté les anciens élèves d’Euclide. Par conséquent, tout ce que nous leur enseignons, à ce stade, c’est à tracer deux lignes perpendiculaires (cette proposition très simple peut être considérée comme l’une des façons dont les cercles peuvent être utilisés), et peut-être la bissectrice d’un angle ainsi que comment tracer un angle égal à un autre, bien que, comme ces dernières opérations impliquent nécessairement un effort mécanique de mémoire, il est conseillé de les omettre avec une classe lente. Tout au long de l’ouvrage, on insiste sur la précision de toutes les mesures et de tous les dessins, car elle est absolument nécessaire lorsque l’on fait beaucoup de choses visuellement.
Tout le travail en mathématiques est grandement facilité par les promenades « géographiques » effectuées par les enfants, c’est-à-dire des promenades au cours desquelles nous nous exerçons à évaluer les distances en nombre de pas, à lire la boussole, à évaluer des hauteurs et des distances à l’œil, par exemple, « faire un plan de la route qui va de notre porte à la place du marché, en indiquant les poteaux télégraphiques, les maisons qui se trouvent sur la route, etc. » ; cela se fait en parcourant les distances et en prenant des directions à l’aide d’un compas de poche ; ou « trouver la quantité d’eau par minute amenée par le ruisseau en amont et en aval de l’usine hydraulique ; trouver ainsi la quantité d’eau prise par l’usine » ; cela s’inscrit dans le cadre des leçons d’arithmétique sur la contenance cubique.
La vitesse à laquelle la rivière coule est calculée en mesurant le temps que prend un bâton qui flotte sur l’eau à parcourir une distance donnée le long de la berge. La largeur et la profondeur sont mesurées à ce qui semble être les meilleurs endroits pour donner une bonne estimation.
Après une année à étudier la géométrie, les enfants ont une bonne idée des directions et des distances, une certaine familiarité avec les instruments de mesure, des habitudes de soin et de précision qui seront utiles dans leur étude ultérieure des mathématiques, ainsi qu’un certain pouvoir de raisonnement logique acquis en résolvant les problèmes présentés.
L’objectif de l’enseignement des mathématiques au cours de ces années est double :
– (1) Préparer le terrain pour que, plus tard, un bon mathématicien puisse émerger, c’est-à-dire enseigner à un enfant la signification de 2 + 2, en gardant à l’esprit qu’un jour il cherchera peut-être la signification de dy/dx, et
(2) S’assurer que, même si la formation mathématique de l’enfant devait se terminer à ses neuf ans, le développement intellectuel qu’elle a provoqué et les pouvoirs qu’elle a fait naître sont tels qu’ils seront un atout précieux pour lui dans tous ses travaux futurs. En effet, pour citer à nouveau Ruskin, nous lui révélons « la science des nombres. Infinie dans la solennité de son utilisation… incluant, bien sûr, … les mathématiques abstraites supérieures et les mystères des nombres, mais vénérée surtout dans sa nécessité vitale pour la prospérité des familles et des royaumes ». Et, encore, « Et combien de fois, dans les plus grandes affaires de la vie, la partie arithmétique de l’entreprise doit-elle devenir dominante ! Combien en avons-nous ? Combien en voulons-nous ? Combien de fois la noble arithmétique du fini se perd-elle dans l’avarice de l’infini et dans l’imagination aveugle de l’infini ? Dans le décompte des minutes, notre arithmétique est-elle jamais assez « sollicitée » ? Dans le décompte de nos jours, est-elle jamais assez sévère ?
C’est donc ici que se fonde notre espoir de voir notre formation contribuer à la formation d’un citoyen bon et capable pour son pays. L’accent est alors mis sur un ou deux points de l’enseignement général.
(1) Les enfants apprennent à formuler des règles pour eux-mêmes en travaillant sur plusieurs exemples à partir des premiers principes, et lorsque la règle est formulée, ils apprennent à l’utiliser immédiatement pour raccourcir leur travail. Par exemple, un enfant travaille sur plusieurs sommes telles que « Trouvez le coût de 12 objets à 3d. chacun, 4d. chacun, etc. », et formule ainsi pour lui-même la règle que « le nombre de shillings par douzaine est le même que le nombre de pence par item », ce qui conduit à l’habitude d’investigation si essentielle pour le mathématicien supérieur. [Note : 1 shilling = 12 pennies ; 1 d. = 1 pence].
(2) Nous insistons également sur la concentration de la pensée tout au long des leçons dont la durée varie de 20 minutes au début à 25 minutes la dernière année. Pendant les leçons, l’attention et la concentration de la pensée sont requises. Les enfants ont généralement ensuite une leçon facile, telle que des travaux manuels ou de l’écriture, afin que leur cerveau se repose après l’effort déployé.
Pour quiconque enseigne cette matière, il est maintenant clair que la présentation historique du sujet est la plus facile et la plus naturelle, c’est-à-dire qu’elle doit être présentée à l’enfant comme elle s’est présentée à la race humaine, en commençant par le concret et en remontant jusqu’à la généralisation abstraite, et en ayant autant que possible un rapport pratique avec les questions de la vie de tous les jours. Tout cela est clair, mais ce que l’enseignant ne perçoit pas toujours aussi clairement, c’est que le concret, dans notre cas, n’est qu’un moyen et non une fin : la fonction du concret est d’être simplement une préparation à l’abstrait, ou un moyen d’illustration symbolique. Le concret doit donc être abandonné dès que possible. Nous constatons que les enfants s’ennuient avec les pions et les perles, et que le travail se prolonge péniblement, avec toujours les mêmes pions et les mêmes perles, jusqu’à ce que l’attention et l’intérêt des enfants aient disparu, et que la leçon produise activement du tort. Une variété d’objets est nécessaire dans ces leçons avec le concret. Un enfant apprend, par exemple, le nombre 10 à partir de certains cubes de bois. Mais lorsque ces cubes sont remplacés par quelque chose d’autre, s’il est interrogé sur le nombre 10, toute connaissance de ce nombre a disparu. 10 se rapporte spécifiquement aux cubes et n’existe pas en dehors d’eux. Une fois passé le concret, il vaut mieux ne plus s’appuyer dessus. Il devient ainsi une simple étape sur le chemin de quelque chose de plus complet, et non un support sur lequel il faut constamment compter.
On entend souvent dire qu’il ne faut pas donner aux jeunes enfants des calculs portant sur des choses intéressantes, comme des oranges, des bouchons ou des poupées, car ils ont tendance à fixer leur attention sur les bouchons ou les poupées et non sur les nombres. Nous sommes enclins à penser que c’est entièrement la faute de l’enseignant. Bien que la question soit toujours abordée au moyen d’un problème, on peut rapidement apprendre à un débutant que pour le calcul, les nombres sont primordiaux. Cela est facilité si l’on écrit dans le cahier d’arithmétique uniquement les chiffres impliqués, jusqu’à ce que l’on obtienne la réponse, comme par exemple, « Je suis sorti avec 6d. et j’ai dépensé 4d. en biscuits ; j’ai ensuite rencontré un ami qui m’a donné 6d. de plus, avec combien suis-je rentré à la maison ? »
Le calcul s’écrirait ainsi —
6 2
4 6
2 8 pennies.
La réponse doit être notée en pennies et saluée comme une conclusion importante et intéressante par une remarque telle que « Je suis donc rentré plus riche que je n’étais parti ». Il existe bien sûr d’excellents manuels qui fournissent des exemples intelligents et des explications lucides ; mais à ce stade très précoce de l’enseignement des mathématiques, on peut se passer presque entièrement d’un manuel. Plutôt que de consulter des manuels, l’enseignant doit faire preuve d’ingéniosité, utiliser d’autres leçons et des promenades, etc., pour préciser ses définitions et amplifier son enseignement.
Sources de la note introductive de Richele Baburina :
[1] Agnes Drury, “How Past Students Can Keep in Touch with the Newest Features of the Training at Scale How,” in L’Umile Pianta, May, 1914, p. 59; also University of London: The Historical Record (London: University of London Press, 1912), p. 305.
[2] Elizabeth Molyneux, “Annual Report,” in The Parents’ Review, volume 63 (1952), p. 190.
[3] Irene Stephens, “Speaking Personally,” in The Parents’ Review, volume 67 (1956), p. 38.
[4] Elizabeth Molyneux, p. 190.
[5] Irene Stephens, “The Teaching of Mathematics to Young Children,” in Special Reports on Educational Subjects (London: Eyre and Spottiswoode, 1911), number 11.
[6] Elsie Kitching, “Notes and Queries,” in The Parents’ Review, volume 37 (1926), p. 202.
[7] Office of Special Inquiries and Reports, Special Reports on Educational Subjects (London: Eyre and Spottiswoode, 1911), Prefatory Note.
[8] Preparatory Programme, 1961.
[9] Education Act, (England) 1921.
Version française de l’article publié par Charlotte Mason Poetry avec leur autorisation. (Traduction ©2024 Sylvie Dugauquier. Relecture : Magali Jacquet)
